Pythagorova věta

1) Z možností vyberte správné znění Pythagorovy věty:

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma jeho přeponami.
Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven rozdílu obsahů čtverců sestrojených nad oběma jeho odvěsnami.
Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou rovnostranného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma jeho odvěsnami.
Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma jeho odvěsnami.

2) Z možností vyberte pravdivé tvrzení:

Jestliže pro strany a, b, c trojúhelníku ABC platí $\displaystyle \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\$ , je tento trojúhelník pravoúhlý s přeponou b a odvěsnami a, c.
Jestliže pro strany a, b, c trojúhelníku ABC platí $\displaystyle \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\$ , je tento trojúhelník rovnostranný s přeponou c a odvěsnami a, b.
Jestliže pro strany a, b, c trojúhelníku ABC platí $\displaystyle \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\$ , je tento trojúhelník pravoúhlý s přeponou c a odvěsnami a, b.
Jestliže pro strany a, b, c trojúhelníku ABC platí $\displaystyle \ a+b=c\$ , je tento trojúhelník pravoúhlý s přeponou c a odvěsnami a, b.

3) Rozhodněte, zda trojúhelník s následujícími délkami stran je pravoúhlý:

$\displaystyle a)\quad a=5\,cm,\,b=6\ cm,\,c=7\ cm$ $\displaystyle b)\quad a=7\,dm,\,b=9\ dm,\,c=11\ dm$ $\displaystyle c)\quad p=10\,m,\,q=24\,m,\,r=26\ m$ $\displaystyle d)\quad x=3,5\,cm,\,y=4\ cm,\,z=5,5\ cm$ $\displaystyle e)\quad m=4\,cm,\,n=7,5\ cm,\,o=8,5\ cm$ $\displaystyle f)\quad 85\,mm,\,132\ mm,\,157\ mm$

$\displaystyle g)\quad 20\,mm,\,21\ mm,\,29\ mm$ $\displaystyle h)\quad 85\,mm,\,132\ mm,\,157\ mm$ $\displaystyle i)\quad 8,5\,m,\,130\ dm,\,15,1\ m$ $\displaystyle j)\quad 32\,mm,\,2,5\ cm,\,0,4\ dm$ $\displaystyle k)\quad 95\,mm,\,16,8\ cm,\,193\ mm$ $\displaystyle l)\quad 30\,mm,\,0,4\ dm,\,0,05\ m$

4) Zapište Pythagorovu větu pro zadané pravoúhlé trojúhelníky:

5) Vypočítej chybějící údaje v těchto trojúhelnících (všechny údaje jsou v centimetrech):

6) Která z následujících tvrzení jsou správná?

$\displaystyle a)\quad k=\sqrt{{{l}^{2}}}+\sqrt{{{m}^{2}}}$
$\displaystyle b)\quad k=\sqrt{{{l}^{2}}+{{m}^{2}}}$
$\displaystyle c)\quad m=\sqrt{{{k}^{2}}-{{l}^{2}}}$
$\displaystyle d)\quad l=\sqrt{{{k}^{2}}}-\sqrt{{{m}^{2}}}$

7) Vypočítejte obsah a obvod daných trojúhelníků:

8) Vypočítejte délky úseček:

9) Vypočítejte délku úhlopříčky

ve čtverci o straně délky 10 cm
v obdélníku o stranách 8 cm a 11 cm

10) Vypočítejte třetinu obvodu obdélníku, který má jednu stranu délky 12 m a úhlopříčku délky 13 m.

11) Fotbalové hřiště má tvar obdélníku, s rozměry 105 metrů a 52 metrů. Vypočítejte jakou dráhu uběhne fotbalista, který běží od jednoho rohového praporku přes střed přímo ke druhému praporku v protějším rohu.

12) Vypočítejte obsah a obvod pravoúhlého trojúhelníku ABC s délkou přepony 26 cm a jednou odvěsnou délky 24 cm.

13) Vypočítejte obvod pravoúhlého trojúhelníku ABC s odvěsnou b délky 8 cm a obsahem 40 cm².

14) Kolik musí měřit strana čtverce, aby mu bylo možné opsat kružnici o poloměru 10 cm?

15) Vypočítejte délku strany kosočtverce ABCD.

16) Vypočítejte výšku v rovnoramenném trojúhelníku ABC a EFG.

17) Vypočítejte obsah rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB, je-li c=8 cm, a=7 cm.

18) Kolik Kč zaplatíme za položení dlažby ve čtvercové místnosti s úhlopříčkou 8 m, jestliže 1 m² stojí 420 Kč?

19) Žebřík má délku 7 metrů. Je opřen o zeď tak, že jeho dolní konec je ode zdi vzdálen 4 metry. Urči, do jaké výšky dosahuje žebřík.

20) Lanovka má délku 900 metrů. Vodorovná vzdálenost horní a dolní stanice lanovky je 800 metrů. Vypočítej, o kolik metrů je horní stanice výš než dolní stanice.

21) Obdélník má jednu stranu dlouhou 30 cm a úhlopříčku dlouhou 50 cm. Vypočítej obvod obdélníku.

22) Dvojitý žebřík (štafle) má ramena dlouhá 4 metry. Do jaké výšky bude dosahovat horní konec žebříku, jestliže dolní konce jsou od sebe vzdáleny 2 metry?

23) Park má tvar obdélníku délky 180 metrů a šířky 120 metrů. Lidé si cestu zkracují přes střed parku z jednoho rohu do druhého. Vypočítej o kolik metrů je tato cesta kratší, než kdyby chodili po cestičce, která vede po obvodu?

24) Kolmo rostoucí topol nalomil vítr ve výšce 6 metrů nad zemí. Vrchol dopadl na zem ve vzdálenosti 8 metrů od paty topolu. Určete původní výšku topolu.

25) Přední strana stanu typu „áčko“ měří u země 150 cm. Boční stěna stanu od země k vrcholu stanu měří 180 cm. Jak vysoký je stan?

26) Žebřík opřený o zeď je dlouhý 10 m. Jeho pata je vzdálena od stěny 2 m. V jaké výšce stěny je umístěn vrchol žebříku?

27) Čtverci o straně 5 cm je opsána a vepsána kružnice. Urči poloměry obou kružnic.

28) Pyramida se čtvercovou základnou je vysoká 50 m má výšku boční stěny 80 m. Urči šířku základny pyramidy.

29) V kvádru je známa délka tělesové úhlopříčky 60 cm a výška kvádru 20 cm. Urči délku úhlopříčky podstavy kvádru.

30) Urči délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně 10 cm.

31) Automobil jel z bodu A 20 km severním a potom 30 km východním směrem. Zastavil se v bodě B. Jaká je přímá vzdálenost bodů A a B?

32) Poměr stran v trojúhelníku je 6 : 5: 10. Nejkratší strana měří 15 cm. Vypoítej délky stran trojúhelníky a zjisti, zda je trojúhelník pravoúhlý.

33) Obsah čtverce je 49 cm². Vypočítej délku jeho úhlopříčky.

Výsledky:

1) D

2) C

3) není pravoúhlý trojúhelník: a, b, d, i; je pravoúhlý trojúhelník: c, e, f, g, h, k, l

4) $\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}};\ {{f}^{2}}={{d}^{2}}+{{e}^{2}};\ {{i}^{2}}={{g}^{2}}+{{h}^{2}};$

5) a) 5,47 cm; b) 12,71 cm; c) 4,48 cm; d) 4,8 cm; e) 14,3 cm; f) 9,33 cm

6) b, c

7) a) S=32 cm², o=36,5 cm; b) S=24 cm², o=24 cm

9) a) 14,14 cm; b) 13,6 cm

10) 11,33 m

11) 117,17 m

12) S=120 cm², o=60 cm

13) o=30,81 cm

14) 14,14 cm

15) a) 9,01 cm; b) 1,07 m

16) a) 11,31 cm; b) 12,65 cm

17) 22,96 cm²

18) 13440 Kč

19) 5,74 m

20) 412,31 m

21) 140 cm

22) 3,87 m

23) přibližně o 84 m

24) 16 m

25) 164 cm

26) 9,8 m

27) 2,5 cm a 3,54 cm

28) 124,9 m

29) 56,57 cm

30) 17,32 cm

31) 36,06 km

32) 15 cm; 18 cm; 30 cm. Trojúhelník není pravoúhlý

33) 9,9 cm.