Poměr a měřítko

Často porovnáváme dva číselné údaje, např. ceny, výkony, vzdálenosti, velikosti apod. Jsou-li porovnávaná čísla různá, zjišťujeme

  • o kolik je jedno číslo větší (menší) než druhé ⇒ porovnáváme rozdílem
  • kolikrát je jedno číslo vetší (menší) než druhé ⇒ porovnáváme podílem

Př.: rohlík stojí 2 Kč, koláč stojí 10 Kč.

Porovnání rozdílem: 10-2=8 ⇒ Koláč je o 8 Kč dražší než rohlík

Porovnání podílem: 10:2=5 ⇒ Koláč je 5 krát dražší než rohlík.

 

Místo toho říkáme také: Cena koláče a cena rohlíku je v poměru deset ku dvěma. Podíl 10:2 se nazývá poměr, obě ceny jsme porovnali poměrem.

Poměr dvou čísel zapisujeme stejně jako dělení, a protože každé dělení můžeme vyjádřit zlomkem, jsou podíl, poměr a zlomek jen jiné tvary téhož čísla. Např.:

  • podíl 2:5 (dvě děleno pěti)
  • poměr 2:5 (dvě ku pěti)
  • zlomek  \displaystyle \frac{2}{5}   (dvě lomeno pěti)

 

Rozšířit poměr znamená vynásobit všechny členy poměru stejným číslem různým od nuly. (Postup je stejný jako při rozšiřování zlomku)

Př.: Poměr 3:7 rozšiřte 4.

3:7=(3.4):(7.4)=12:28

 

Zkrátit poměr znamená vydělit všechny členy poměru stejným číslem různým od nuly. Jsou-li členy poměru nesoudělná čísla, je poměr v základním tvaru.

Př.: Poměr 6:8 zkraťte 2:

6:8=(6:2):(8:2)=3:4

 

Změna čísla v daném poměru:

Číslo změníme (zvětšíme či zmenšíme) v daném poměru tak, že poměr vyjádříme zlomkem a tímto zlomkem dané číslo vynásobíme.

Př.: Zvětšete číslo 12 v poměru 5:3.

\displaystyle \frac{5}{3}\cdot 12=\frac{5}{1}\cdot 4=20

 

Postupný poměr:

Postupným poměrem porovnáváme 3 i více částí x:y:z . Postupný poměr lze krátit, rozšiřovat a vyjádřit ho v základním tvaru.

 

Rozdělení celku na několik částí v určitém poměru:

  • vypočítáme celkový počet dílů poměru (sečteme je)
  • vypočítáme velikost jednoho dílu poměru(dané číslo vydělíme součtem členů poměru)
  • jednotlivé části poměru vynásobíme velikostí jednoho dílu poměru
  • součet jednotlivých rozdělených částí je roven danému číslu

Př.: Rozdělte číslo 35 v poměru 3:4.

  • celkový počet dílů poměru je 3+4=7
  • velikost jednoho dílu poměru z 35 je 35:7=5
  • první část poměru obsahuje 3 díly: 3.5=15
  • druhá část poměru obsahuje 4 díly: 4.5=20

Číslo 35 rozdělené v poměru 3:4 je 15 a 20 (součet rozdělených částí se musí rovnat zadanému číslu 15+20=35).

 

Mapa a plán

Plán se používá ve výrobní oblasti (strojírenství, stavebnictví), ale také je plán ve smyslu kartografickém. Pokud máme na mysli plán kartografický, pak se jedná o zmenšený obraz nevelké části zemského povrchu do 100 km2 . Jedná se například o:

  • Plány měst nebo jejich částí v měřítku 1 : 10 000; 1 : 15 000
  • Katastrální plány v měřítku 1 : 2 000; 1 : 5 000

Mapa je zmenšený obraz velké části zemského povrchu nad 100 km2 . Při tvorbě map se úžívají různá měřítka, např.:

  • Turistická mapa v měřítku 1 : 100 000
  • Automapa ČR v měřítku 1 : 750 000
  • Mapa ČR v atlasu v měřítku 1 : 1 000 000

 

Co nám udává měřítko plánu nebo mapy?

Jedná se o poměr, který nám udává, kolikrát jsou na mapě zmenšeny skutečné vzdálenosti.

  • Měřítko mapy je 1 : 100 000 … to znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 100 000 cm ve skutečnosti (tj. 1 km).
  • Měřítko mapy je 1 : 25 000 … to znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 25 000 cm ve skutečnosti (tj. 250 m).