Závislost veličin

Různé číselné údaje bývají na sobě závislé. To znamená, že změní-li se velikost jednoho údaje, změní se tím také velikost druhého (dalšího) údaje. Např.:

  • Množství koupeného zboží a zaplacená částka jsou na sobě závislé. Koupíme-li např. více zboží, zaplatíme za ně větší částku.
  • Obsah čtverce je závislý na velikosti strany čtverce, protože čtverec o větší straně má také větší obsah.

Také různé fyzikální veličiny jsou na sobě závislé. Např.:

  • Rychlost vozidla a doba potřebná k projetí určité dráhy jsou na sobě závislé, protože změní-li se rychlost vozidla, zvětší se doba jízdy

Místo toho, že jeden údaj závisí na druhém údaji, říkáme, že jeden údaj je funkcí jiného údaje. Např.:

  • částka zaplacená za kapra je funkcí hmotnosti kapra
  • počet dní potřebných na vykonání určité práce je funkcí počtu dělníků
  • délka kružnice je funkcí velikosti poloměru kružnice

Funkční závislost patří mezi důležité matematické pojmy. Zde se budeme zabývat závislostí dvou údajů. Např.: Částka, kterou zaplatíme za pomeranče, je závislá na hmotnosti pomerančů; cena pomerančů je funkcí jejich hmotnosti. Oba údaje, cena i hmotnost pomerančů se mohou měnit. Dostáváme tak dvě skupiny neboli množiny čísel. Čísla v jedné množině (hmotnost pomerančů) můžeme měnit libovolně, proto v tomto případě hmotnost pomerančů se nazývá proměnná.

Chceme znát, kolik stojí například 0,5 kg, 0,75 kg, 2 kg, 4 kg atd. pomerančů. Každému číslu této množiny říkáme hodnota proměnné. Celou množinu všech těchto čísel označujeme jako definiční obor. Čísla druhé množiny (cena pomerančů) vypočítáme, nemůžeme je měnit libovolně, neboť velikost každého z těchto čísel závisí na hodnotě proměnné (hmotnost pomerančů). Každému číslu této druhé skupiny říkáme funkční hodnota. Stojí-li 1 kg pomerančů 30 Kč, pak hodnotě proměnné 0,5 kg přísluší funkční hodnota 15 Kč, hodnotě proměnné 0,75 kg přísluší funkční hodnota 22,5 Kč, hodnotě proměnné 2 kg přísluší funkční hodnota 60 Kč, hodnotě proměnné 4 kg přísluší funkční hodnota 120 Kč, atd.

Proměnnou většinou označujeme písmenem x a funkční hodnotu písmenem y. Přitom vždy platí: Každé hodnotě x je přiřazena (přísluší) jediná funkční hodnota y podle určitého předpisu.

x….hodnoty proměnné (kg)

y….funkční hodnoty (Kč)

x 0,5 0,75 2 4
y 15 22,5 60 120

Při funkční závislosti dvou veličin se často vyskytuje určité číslo, které se nemění. Např. 1 kg pomerančů stojí 30.1 Kč, 0,5 kg stojí 30.0,5, 2 kg stojí 30.2 Kč, atd. Toto stálé (neměnné) číslo se nazývá koeficient a obvykle se označuje písmenem k nebo a.

Může nastat případ, že po dosažení určité hodnoty proměnné dostaneme výraz, který nedává smysl ⇒ hmotnost pomerančů nemůže být vyjádřena číslem záporným, nemůžeme koupit – 2 kg pomerančů. V tomto případě může být tedy hodnota proměnné pouze číslo kladné. Množině všech hodnot proměnné, pro které má funkce smysl, říkáme definiční obor.

Kartézská soustava souřadnic

Jestliže chceme určit polohu libovolného bodu v rovině, použijeme k tomu tzv. kartézskou soustavu souřadnic. V rovině zvolíme dvě k sobě kolmé číselné osy tak, aby měli společný bod, který je na každé číselné ose obrazem čísla nula. Tento průsečík se nazývá počátek soustavy souřadnic, číselné osy označíme x a y. 

Máme-li určit polohu bodu A, vedeme tímto bodem rovnoběžky s osami souřadnic a na osách přečteme čísla 3 a 2. Tato dvě čísla se nazývají souřadnice bodu A. Říkáme, že bod A má x-ovou souřadnici 3 a y-ovou souřadnici 2, což zapisujeme stručně A(3;2) nebo A[3;2].

funkce01

Vyjádření funkce:

Funkci můžeme vyjádřit třemi způsoby:

  • tabulkou
  • rovnicí
  • grafem

Vyjádření funkce tabulkou:

Tabulka, která vyjadřuje závislost dvou veličin, obsahuje dvě množiny čísel zapsaných buď do dvou řádků, nebo do dvou sloupců. Jednu množinu čísel tvoří prvky definičního oboru, které jsou buď dány, nebo je volíme podle potřeby. Ke každému prvku definičního oboru vypočítáme a přiřadíme příslušnou funkční hodnotu. Vždy dvě čísla v tabulce tedy patří k sobě.

Př: Obsah čtverce počítáme podle vzorce \displaystyle S={{a}^{2}}. Obsah čtverce závisí tedy pouze na velikosti strany čtverce. Tuto funkci pro některé velikosti stran můžeme vyjádřit tabulkou:

a 1 2 3 4 5 6
S 1 4 9 16 25 36

 

 

Vyjádření funkce rovnicí:

Nejčastěji je funkce vyjádřena rovnicí. Rovnice vyjadřuje funkci lépe než tabulka, protože pomocí rovnice můžeme určit i ty hodnoty funkce, které v tabulce nejsou.

Rovnice některých funkcí:

přímá úměrnost

\displaystyle y=kx

 

lineární funkce

\displaystyle y=ax+b

 

nepřímá úměrnost

\displaystyle y=\frac{k}{x}

 

kvadratická funkce

\displaystyle y=a{{x}^{2}}+bx+c

Graf funkce:

Každá hodnota x a k ní příslušná hodnota y tvoří dvojici čísel. Tato dvě čísla tvoří souřadnice bodu, který můžeme zobrazit v soustavě souřadnic. Protože pro každou funkci můžeme určit libovolný počet takových dvojic čísel,můžeme také pro každou funkci sestrojit libovolný počet bodů. Zobrazíme-li větší počet bodů a spojíme je souvislou čarou, vznikne graf funkce.

Sestrojení grafu:

  1. Zvolíme osy pravoúhlých souřadnic.
  2. Určíme druh funkce, abychom věděli, kolik bodů grafu je třeba zobrazit pomocí souřadnic.
  3. Je-li funkce dána rovnicí, zvolíme vhodná čísla jako hodnoty proměnné x a vypočítáme k nim příslušné funkční hodnoty y. Dvojice čísel x a jsou souřadnicemi jednotlivých bodů grafu.
  4. Jestliže je funkce vyjádřena tabulkou, sestrojujeme body grafu z dvojic čísel v tabulce. Chceme-li sestrojit bod, jehož souřadnice v tabulce nejsou, sestavíme rovnici a souřadnice bodu dopočítáme podle této rovnice.
  5. Zobrazené body spojíme souvislou čarou.

Grafy základních funkcí:

Přímá úměrnost:

rovnice: \displaystyle y=kx,\quad k\ge 0

Nepřímá úměrnost

rovnice: \displaystyle y=\frac{k}{x},\quad k>0,\,x\ne 0

Lineární funkce:

rovnice: \displaystyle y=ax+b

Kvadratická funkce:

rovnice: \displaystyle y=a{{x}^{2}}+bx+c

 

\displaystyle c)\quad \sqrt{25}-\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+\sqrt{16}-\left( -1 \right)}=

\displaystyle \boxed{u=1}